hệ thức lượng trong tam giác

Nhắc lại hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Cho tam giác \(ABC\) vuông góc bên trên đỉnh \(A\) (\(\widehat{A} = 90^0\)), tao có:

Bạn đang xem: hệ thức lượng trong tam giác

Quảng cáo

1. \({b^2} = ab';{c^2} = a.c'\)

2. Định lý Pitago : \({a^2} = {b^2} + {c^2}\)

3. \(a.h = b.c\)

4. \(h^2= b’.c’\)

5. \(\dfrac{1}{h^{2}}\) = \(\dfrac{1}{b^{2}}\) + \(\dfrac{1}{c^{2}}\)

 

1. Định lý cosin

Định lí: Trong một tam giác bất kì, bình phương một cạnh vì chưng tổng những bình phương của nhì cạnh còn sót lại trừ cút nhì thứ tự tích của nhì cạnh ê nhân với \(cosin\) của góc xen thân ái bọn chúng.

Ta với những hệ thức sau:  

$$\eqalign{
& {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A \, \, (1) \cr
& {b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.\cos B \, \, (2) \cr
& {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.\cos C \, \, (3) \cr} $$

Hệ trái ngược của tấp tểnh lí cosin:

\(\cos A = \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\)

\(\cos B = \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\)

\(\cos C = \dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\)

Áp dụng: Tính phỏng lâu năm lối trung tuyến của tam giác:

Cho tam giác \(ABC\) với những cạnh \(BC = a, CA = b\) và \(AB = c\). Gọi \(m_a,m_b\) và \(m_c\) là phỏng lâu năm những lối trung tuyến thứu tự vẽ kể từ những đỉnh \(A, B, C\) của tam giác. Ta có

\({m_{a}}^{2}\) =  \(\dfrac{2.(b^{2}+c^{2})-a^{2}}{4}\)

\({m_{b}}^{2}\) = \(\dfrac{2.(a^{2}+c^{2})-b^{2}}{4}\)

\({m_{c}}^{2}\) = \(\dfrac{2.(a^{2}+b^{2})-c^{2}}{4}\)

2. Định lí sin

Định lí: Trong tam giác \(ABC\) ngẫu nhiên, tỉ số thân ái một cạnh và sin của góc đối lập với cạnh ê vì chưng 2 lần bán kính của lối tròn trĩnh nước ngoài tiếp tam giác, nghĩa là

\(\dfrac{a}{\sin A}= \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R\)

Xem thêm: bảng cộng trừ trong phạm vi 20

với \(R\) là nửa đường kính lối tròn trĩnh nước ngoài tiếp tam giác 

Công thức tính diện tích S tam giác

Diện tích \(S\) của tam giác \(ABC\) được xem theo dõi một trong số công thức sau

\(S = \dfrac{1}{2} ab \sin C= \dfrac{1}{2} bc \sin A \) \(= \dfrac{1}{2}ca \sin B \, \,(1)\)   

\(S = \dfrac{abc}{4R}\, \,(2)\)           

\(S = pr\, \,(3)\)              

\(S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\)  (công thức  Hê - rông) \((4)\)

Trong đó:\(BC = a, CA = b\) và \(AB = c\); \(R, r\) là nửa đường kính lối tròn trĩnh nước ngoài tiếp, bk lối tròn trĩnh nội tiếp và \(S\) là diện tích S tam giác ê.

3. Giải tam giác và phần mềm vô việc đo đạc

Giải tam giác : Giải tam giác là đi kiếm những nhân tố (góc, cạnh) chưa chắc chắn của tam giác Lúc vẫn biết một vài nhân tố của tam giác ê.

Muốn giải tam giác tao cần thiết mò mẫm ông tơ contact trong số những góc, cạnh vẫn mang đến với những góc, những cạnh chưa chắc chắn của tam giác trải qua những hệ thức và đã được nêu vô tấp tểnh lí cosin, tấp tểnh lí sin và những công thức tính diện tích S tam giác.

Các Việc về giải tam giác: Có 3 Việc cơ bạn dạng về gỉải tam giác:

a) Giải tam giác lúc biết một cạnh và nhì góc.

=> Dùng tấp tểnh lí sin nhằm tính cạnh còn sót lại.

b) Giải tam giác lúc biết nhì cạnh và góc xen giữa

=> Dùng tấp tểnh lí cosin nhằm tính cạnh loại tía. 

Sau ê sử dụng hệ trái ngược của tấp tểnh lí cosin nhằm tính góc.

c) Giải tam giác lúc biết tía cạnh

Đối với Việc này tao dùng hệ trái ngược của tấp tểnh lí cosin nhằm tính góc: 

    \(\cos A = \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\)       

    \(\cos B = \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\)

    \(cos C = \dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\)

Chú ý: 

Xem thêm: tổ hợp phím ctrl + shift + = dùng để

1. Cần chú ý là 1 trong tam giác giải được Lúc tao biết 3 nhân tố của chính nó, vô ê cần với tối thiểu một nhân tố phỏng lâu năm (tức là nhân tố góc ko được vượt lên trước 2)

2. Việc giải tam giác được dùng vô những Việc thực tiễn, nhất là những Việc đo lường.