| Giải tích toán học tập → Giải tích phức |
| Giải tích phức |
|---|
 |
| Số phức |
|
| Hàm số phức |
|
| Lý thuyết cơ bản |
|
| Nhân vật |
|
|
|
Số phức (tiếng Anh: Complex number) là số rất có thể viết lách bên dưới dạng , vô cơ a và b là những số thực, là đơn vị chức năng ảo, với hoặc .[1] Trong biểu thức này, số a gọi là phần thực, b gọi là phần ảo của số phức. Số phức rất có thể được trình diễn bên trên mặt mày bằng phẳng phức với trục hoành là trục số thực và trục tung là trục số ảo, bởi vậy một trong những phức được xác lập vì thế một điểm với tọa phỏng (a,b). Một số phức nếu như với phần thực vì thế ko thì gọi là số thuần ảo (số ảo), nếu như với phần ảo vì thế ko thì trở nên số thực R. Việc không ngừng mở rộng ngôi trường số phức nhằm giải những câu hỏi tuy nhiên ko thể giải vô ngôi trường số thực.
Số phức được dùng trong vô số nhiều nghành nghề dịch vụ khoa học tập, như khoa học tập nghệ thuật, năng lượng điện kể từ học tập, cơ học tập lượng tử, toán học tập phần mềm ví dụ như vô lý thuyết láo lếu loàn. Nhà toán học tập người Ý Gerolamo Cardano là kẻ thứ nhất thể hiện số phức. Ông dùng số phức nhằm giải những phương trình bậc tía vô thế kỉ 16.[2]
Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]
Nhà toán học tập người Ý R. Bombelli (1526-1573) đã mang khái niệm thứ nhất về số phức, khi này được gọi là số "không thể có" hoặc "số ảo" vô dự án công trình Đại số (Bologne, 1572) công thân phụ không nhiều lâu trước lúc ông tổn thất. Ông đang được khái niệm những số cơ (số phức) Lúc nghiên cứu và phân tích những phương trình bậc tía và đã mang rời khỏi căn bậc nhì của .
Nhà toán học tập người Pháp D’Alembert vô năm 1746 đang được xác lập được dạng tổng quát mắng "" của bọn chúng, bên cạnh đó đồng ý nguyên tắc tồn bên trên n nghiệm của một phương trình bậc n. Nhà toán học tập Thụy Sĩ L. Euler (1707-1783) đã mang rời khỏi ký hiệu "" nhằm chỉ căn bậc nhì của , năm 1801 Gauss đang được người sử dụng lại ký hiệu này.
Tổng quan[sửa | sửa mã nguồn]
Số phức được chấp nhận giải một phương trình chắc chắn tuy nhiên ko giải được vô ngôi trường số thực. Ví dụ, phương trình
không với nghiệm thực, vì thế bình phương của một trong những thực ko thể âm. Các số phức được chấp nhận giải phương trình này. Ý tưởng là không ngừng mở rộng ngôi trường số thực quý phái đơn vị chức năng ảo với , bởi vậy phương trình bên trên được giải. Trong tình huống này những nghiệm là −1 + 3i và −1 − 3i, rất có thể ra soát nghiệm Lúc thế vô phương trình và với :
![{\displaystyle {\big [}\left(-1+3i\right)+1{\big ]}^{2}=\left(3i\right)^{2}=\left(3^{2}\right)\left(i^{2}\right)=9\cdot \left(-1\right)=-9}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07da03dc7cbb4d94418abdd4e3884770d3c034aa)
![{\displaystyle {\big [}\left(-1-3i\right)+1{\big ]}^{2}=\left(-3i\right)^{2}=\left(-3\right)^{2}\left(i^{2}\right)=9\cdot (-1)=-9}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c5334849aa929fb370d05e4c73e2940764c0042)
Thực tế không chỉ có những phương trình bậc nhì tuy nhiên toàn bộ những phương trình đại số với thông số thực hoặc số ảo với 1 đổi mới số rất có thể giải ngay số phức.
Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]
Số phức được trình diễn bên dưới dạng , với a và b là những số thực và là đơn vị ảo, thỏa mãn nhu cầu ĐK . Ví dụ là một trong những phức.
Số thực a được gọi là phần thực của ; số thực b được gọi là phần ảo của . Theo cơ, phần ảo không tồn tại chứa chấp đơn vị chức năng ảo: bởi vậy b, ko cần bi, là phần ảo.[3][4] Phần thực của số phức z được ký hiệu là Re(z) hoặc ℜ(z); phần ảo của phức z được ký hiệu là Im(z) hoặc ℑ(z). Ví dụ:
Do cơ, nếu như xét theo đòi phần thực và phần ảo, một trong những phức z sẽ tiến hành viết lách là . Biểu thức này đôi lúc được gọi là dạng Cartesi của z.
Một số thực a rất có thể được trình diễn ở dạng phức là với phần ảo là 0. Số thuần ảo là một trong những phức được viết lách là với phần thực vì thế 0. Dường như, Lúc phần ảo âm, nó được viết lách là với thay cho , ví dụ thay cho .
Tập ăn ý toàn bộ những số phức hoặc ngôi trường số phức được ký hiệu là ℂ, hoặc . Có nhiều cách thức thi công ngôi trường số phức một cơ hội ngặt nghèo vì thế cách thức định đề.
Gọi là ngôi trường số thực. Ký hiệu là tụ hội những cặp (a,b) với .
Trong , khái niệm nhì quy tắc nằm trong và quy tắc nhân như sau:
thì là 1 ngôi trường (xem cấu tạo đại số).
Ta rất có thể lập một đơn ánh kể từ luyện số thực vô bằng phương pháp cho từng số thực a ứng với cặp . Khi cơ ... Nhờ quy tắc nhúng, tao như nhau luyện những số thực với luyện con cái những số phức dạng , Lúc cơ luyện những số thực là luyện con cái của luyện những số phức và sẽ là một không ngừng mở rộng của .
Ký hiệu là cặp (0,1) . Ta có
.
Tất cả những số phức dạng được gọi là những số thuần ảo.
Xem thêm: điểm chuẩn học viện báo chí và tuyên truyền 2022
Một số định nghĩa cần thiết vô ngôi trường số phức[sửa | sửa mã nguồn]
Dạng đại số của số phức[sửa | sửa mã nguồn]
Trong ngôi trường số phức, đặc điểm của đơn vị chức năng ảo đặc thù vì thế biểu thức
Mỗi số phức z đều được trình diễn có một không hai bên dưới dạng:
trong cơ a, b là những số thực. Dạng trình diễn này được gọi là dạng đại số của số phức z.
Với cơ hội trình diễn bên dưới dạng đại số, quy tắc nằm trong và nhân những số phức được triển khai như quy tắc nằm trong và nhân những nhị thức số 1 với Note rằng . Như vậy, tao có:
Mặt bằng phẳng phức[sửa | sửa mã nguồn]
Trong hệ toạ phỏng Descartes, rất có thể người sử dụng trục hoành chỉ tọa phỏng phần thực còn trục tung mang lại tọa phỏng phần ảo nhằm trình diễn một trong những phức
Khi cơ mặt mày bằng phẳng tọa phỏng được gọi là mặt mày bằng phẳng phức.
Số thực và số thuần ảo[sửa | sửa mã nguồn]
Mỗi số thực sẽ là một trong những phức với .
Ta có:
Nếu , số phức được gọi là thuần ảo.
Số phức liên hợp[sửa | sửa mã nguồn]
Cho số phức bên dưới dạng đại số , số phức được gọi là số phức phối hợp của z.
Một số đặc điểm của số phức liên hợp:
- là một trong những thực.
- là một trong những thực
- =
- =
Module và Argument[sửa | sửa mã nguồn]
- Xem thêm: độ quý hiếm tuyệt đối
Dạng lượng giác của số phức[sửa | sửa mã nguồn]
Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]
Số phức rất có thể viết lách bên dưới dạng
Khi đặt
- ,
ta có
Cách trình diễn này được gọi là dạng lượng giác của số phức .
Phép toán bên trên những số phức viết lách bên dưới dạng lượng giác[sửa | sửa mã nguồn]
- Phép nhân và quy tắc phân chia những số phức bên dưới dạng lượng giác
Cho nhì số phức bên dưới dạng lượng giác
Xem thêm: sư phạm thành phố hồ chí minh
Khi đó
- Lũy quá bất ngờ của số phức bên dưới dạng lượng giác (công thức Moirve).
- Khai số phận phức bên dưới dạng lượng giác.
Mọi số phức z không giống 0 đều phải có trúng n căn bậc n, là những số dạng
![{\displaystyle {\omega }_{k}={\sqrt[{n}]{r}}\left(\cos {\psi }_{k}+i\sin {\psi }_{k}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a03dd7d07b639e386d3e187aac1866ee12ba466b)
trong cơ ,
Một số ứng dụng[sửa | sửa mã nguồn]
Các tụ hội số[sửa | sửa mã nguồn]
- : Tập ăn ý số tự động nhiên
- : Tập ăn ý số nguyên
- : Tập ăn ý số hữu tỉ
- : Tập ăn ý số vô tỉ
- : Tập ăn ý số thực
- : Tập ăn ý số phức
Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]
- Hình học tập phức
- Mặt cầu Riemann (mặt bằng phẳng phức ngỏ rộng)
- Giải tích phức
- Số siêu phức
- Số nguyên vẹn Gauss
- Căn bậc hai
- Công thức Euler
Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]
- ^ Charles P.. McKeague (2011). Elementary Algebra. Brooks/Cole. tr. 524. ISBN 978-0-8400-6421-9.
- ^ Burton (1995, tr. 294)
- ^ Complex Variables (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipschutz, J.J. Schiller, D. Spellman, Schaum's Outline Series, Mc Graw Hill (USA), ISBN 978-0-07-161569-3
- ^ Aufmann, Richard N.; Barker, Vernon C.; Nation, Richard D. (2007), College Algebra and Trigonometry (ấn bạn dạng 6), Cengage Learning, tr. 66, ISBN 0-618-82515-0, Chapter P.., p. 66
Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]
 |
Wikimedia Commons đạt thêm hình hình họa và phương tiện đi lại truyền đạt về Số phức. |
- Số phức bên trên Encyclopædia Britannica (tiếng Anh)
| Các chủ thể chủ yếu vô toán học |
|---|
| Nền tảng toán học tập | Đại số | Giải tích | Hình học tập | Lý thuyết số | Toán học tập tách rốc | Toán học tập phần mềm | Toán học tập vui chơi | Toán học tập tô pô | Xác suất thống kê |
Bình luận