số hoàn hảo là gì

Bách khoa toàn thư banh Wikipedia

Số trả hảo (hay hay còn gọi là số trả chỉnh, số trả thiện hoặc số trả thành) là một trong những nguyên vẹn dương nhưng mà tổng những ước nguyên vẹn dương thực sự của chính nó (các số nguyên vẹn dương bị nó phân chia không còn nước ngoài trừ nó) vì chưng chủ yếu nó.

Bạn đang xem: số hoàn hảo là gì

Định nghĩa số trả hảo[sửa | sửa mã nguồn]

Số tuyệt đối là những số nguyên vẹn dương n sao cho:

trong cơ, s(n) là hàm tổng những ước thực sự của n. Ví dụ:

Hoặc:

trong cơ, là hàm tổng những ước của n, bao hàm cả n).

Các số tuyệt đối chẵn[sửa | sửa mã nguồn]

Euclid vẫn mày mò đi ra 4 số tuyệt đối nhỏ nhất bên dưới dạng: 2p−1(2p − 1):

Chú ý rằng: 2p − 1 đều là số nhân tố trong những ví dụ bên trên, Euclid chứng tỏ rằng công thức: 2p−1(2p − 1) tiếp tục cho tới tao một trong những tuyệt đối chẵn khi và chỉ khi 2p − một là số nhân tố (số nhân tố Mersenne).

Các căn nhà toán học tập cổ điển đồng ý đó là 4 số tuyệt đối nhỏ nhất mà người ta biết, tuy nhiên phần nhiều những giả thiết bên trên phía trên dường như không được chứng tỏ là chính. Một vô số này là nếu như 2, 3, 5, 7 là tứ số nhân tố thứ nhất thì chắc chắn sẽ có được số đầy đủ loại năm khi p = 11, số nhân tố loại năm. Nhưng 211 − 1 = 2047 = 23 × 89 lại là ăn ý số, và thế là p = 11 ko chiếm được số tuyệt đối. 2 sai lầm đáng tiếc không giống của mình là:

Số tuyệt đối loại năm nên sở hữu năm chữ số bám theo hệ cơ số 10 vì như thế tứ số tuyệt đối thứ nhất sở hữu theo lần lượt 1, 2, 3, 4 chữ số

Chữ số sản phẩm đơn vị chức năng của số tuyệt đối nên là 6, 8, 6, 8 và cứ thế tái diễn.

Xem thêm: lãnh đạo khởi nghĩa hương khê là ai

Số tuyệt đối loại năm là bao hàm 8 chữ số, vậy đánh giá 1 vẫn sai, về đánh giá thứ hai thì số này tận nằm trong là 6. Tuy nhiên cho tới số tuyệt đối loại sáu là thì cũng tận nằm trong là 6. Nói cách tiếp bất kể số tuyệt đối chẵn nào thì cũng nên sở hữu chữ số tận nằm trong là 6 hoặc 8.

Để là số nhân tố thì ĐK cần thiết tuy nhiên ko đầy đủ là p là số nhân tố. Số nhân tố sở hữu dạng 2p − 1 được gọi là Số nhân tố Mersenne sau khoản thời gian được một căn nhà tu vô thế kỷ 17 là Marin Mersenne, người học tập lý thuyết số và số tuyệt đối lần đi ra.

Hơn 1000 năm tiếp theo Euclid, Ibn al-Haytham Alhazen circa xem sét rằng từng số tuyệt đối chẵn đều nên sở hữu dạng 2p−1(2p − 1) khi 2p − một là số nhân tố, tuy nhiên ông tao ko thể chứng tỏ được thành quả này.[1] Mãi cho tới thế kỷ 18 là Leonhard Euler vẫn chứng tỏ công thức 2p−1(2p − 1) là tiếp tục lần đi ra những số tuyệt đối chẵn. Đó là nguyên do dẫn cho tới sự contact thân thiện số tuyệt đối và số nhân tố Mersenne. Kết trái ngược này thông thường được gọi là thuyết Euclid-Euler. Tính đến mon 9 năm 2008, mới mẻ chỉ mất 46 số Mersenne được lần đi ra,[2] sở hữu nghĩa đó là số tuyệt đối loại 46 được biết, số lớn số 1 là 243.112.608 × (243.112.609 − 1) với 25.956.377 chữ số.

39 số tuyệt đối chẵn thứ nhất sở hữu dạng 2p−1(2p − 1) khi

p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917 (dãy số A000043 vô bảng OEIS)

7 số không giống được biết là lúc p = 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 43112609. Chưa ai biết là sở hữu nhằm sót số này thân thiện bọn chúng hoặc không

Cũng không có ai biết chắc chắn là là sở hữu vô hạn số nhân tố Mersenne và số tuyệt đối hay là không. Việc lần đi ra những số nhân tố Mersenne vừa được tiến hành vì chưng những siêu máy tính

Các số tuyệt đối đều là số tam giác loại 2p − 1 (là tổng của toàn bộ những số đương nhiên từ là một cho tới 2p − 1):

p = 2:
p = 3:
p = 5:
p = 7:

Các số tuyệt đối đều là tổng hợp chập 2 của 2p:

p = 2:
p = 3:
p = 5:
p = 7:

Các số tuyệt đối đều phải có tổng những nghịch ngợm hòn đảo của những ước (kể cả chủ yếu nó) chính vì chưng 2:

6:
28:
496:
8128:

Số 6 là số đương nhiên độc nhất sở hữu tổng những ước vì chưng tích những ước (không kể chủ yếu nó):

Trừ số 6, từng số tuyệt đối đều là tổng của 2(p−1)/2 số lập phương lẻ liên tục kể từ 13 cho tới (2(p+1)/2 − 1)3:

Xem thêm: đại học luật điểm chuẩn

p = 3:
p = 5:
p = 7:

Trừ số 6, từng số tuyệt đối khi phân chia 9 thì đều chiếm được thương là số tam giác loại (2p − 2)/3 và số dư là 1:

p = 3:
p = 5:
p = 7:

Số tuyệt đối lẻ[sửa | sửa mã nguồn]

Hiện bên trên người tao vẫn không biết được liệu số tuyệt đối lẻ này ko tuy vậy vẫn có khá nhiều thành quả phân tích. Trong 1946, Jacques Lefèvre tuyên bố rằng luật của Euclid cho tới từng số trả hảo[3], tức thị nhận định rằng không tồn tại số tuyệt đối lẻ này tồn bên trên cả. Euler thì thưa rằng: "Liệu ... sở hữu số tuyệt đối lẻ này là thắc mắc vô cùng khó khăn rất có thể giải đáp".[4] Gần phía trên rộng lớn, Carl Pomerance đã mang đi ra thảo luận vì chưng heuristic rằng quả thực ko số tuyệt đối lẻ này nên tồn bên trên [5] Tất cả những số tuyệt đối đều là số điều tiết của Ore và lúc này người tao vẫn đang được fake thuyết không tồn tại số điều tiết lẻ này nước ngoài trừ số 1.

Bất cứ số tuyệt đối lẻ N nên thỏa mãn nhu cầu những ĐK sau:

  • N > 101500.[6]
  • N ko phân chia không còn vì chưng 105.[7]
  • N bên dưới dạng N ≡ 1 (mod 12) hoặc N ≡ 117 (mod 468) hoặc N ≡ 81 (mod 324).[8]
  • N bên dưới dạng
trong đó:

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

  • Danh sách số nhân tố Mersenne và số trả hảo

Ghi chú[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., “Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham”, Bộ tàng trữ lịch sử hào hùng toán học tập MacTutor, Đại học tập St. Andrews
  2. ^ “Great Internet Mersenne Prime Search”. Truy cập 7 mon 10 năm 2015.
  3. ^ Dickson, L. E. (1919). History of the Theory of Numbers, Vol. I. Washington: Carnegie Institution of Washington. tr. 6.
  4. ^ http://www.math.harvard.edu/~knill/seminars/perfect/handout.pdf [liên kết URL chỉ mất từng PDF]
  5. ^ Oddperfect.org. Lưu trữ 2006-12-29 bên trên Wayback Machine
  6. ^ a b c Ochem, Pascal; Rao, Michaël (2012). “Odd perfect numbers are greater kêu ca 101500(PDF). Mathematics of Computation. 81 (279): 1869–1877. doi:10.1090/S0025-5718-2012-02563-4. ISSN 0025-5718. Zbl 1263.11005.
  7. ^ Kühnel, Ullrich (1950). “Verschärfung der notwendigen Bedingungen für die Existenz von ungeraden vollkommenen Zahlen”. Mathematische Zeitschrift (bằng giờ Đức). 52: 202–211. doi:10.1007/BF02230691. S2CID 120754476.
  8. ^ Roberts, T (2008). “On the Form of an Odd Perfect Number” (PDF). Australian Mathematical Gazette. 35 (4): 244.
  9. ^ a b Zelinsky, Joshua (3 mon 8 năm 2021). “On the Total Number of Prime Factors of an Odd Perfect Number” (PDF). Integers. 21. Truy cập ngày 7 mon 8 năm 2021.
  10. ^ Chen, Yong-Gao; Tang, Cui-E (2014). “Improved upper bounds for odd multiperfect numbers”. Bulletin of the Australian Mathematical Society. 89 (3): 353–359. doi:10.1017/S0004972713000488.
  11. ^ Nielsen, Pace P.. (2003). “An upper bound for odd perfect numbers”. Integers. 3: A14–A22. Truy cập ngày 23 mon 3 năm 2021.
  12. ^ Ochem, Pascal; Rao, Michaël (2014). “On the number of prime factors of an odd perfect number”. Mathematics of Computation. 83 (289): 2435–2439. doi:10.1090/S0025-5718-2013-02776-7.
  13. ^ Pomerance, Carl; Luca, Florian (2010). “On the radical of a perfect number”. New York Journal of Mathematics. 16: 23–30. Truy cập ngày 7 mon 12 năm 2018.
  14. ^ Goto, T; Ohno, Y (2008). “Odd perfect numbers have a prime factor exceeding 108(PDF). Mathematics of Computation. 77 (263): 1859–1868. Bibcode:2008MaCom..77.1859G. doi:10.1090/S0025-5718-08-02050-9. Bản gốc (PDF) tàng trữ ngày 7 mon 8 năm 2011. Truy cập ngày 30 mon 3 năm 2011.
  15. ^ Konyagin, Sergei; Acquaah, Peter (2012). “On Prime Factors of Odd Perfect Numbers”. International Journal of Number Theory. 8 (6): 1537–1540. doi:10.1142/S1793042112500935.
  16. ^ Iannucci, DE (1999). “The second largest prime divisor of an odd perfect number exceeds ten thousand” (PDF). Mathematics of Computation. 68 (228): 1749–1760. Bibcode:1999MaCom..68.1749I. doi:10.1090/S0025-5718-99-01126-6. Truy cập ngày 30 mon 3 năm 2011.
  17. ^ Zelinsky, Joshua (tháng 7 năm 2019). “Upper bounds on the second largest prime factor of an odd perfect number”. International Journal of Number Theory. 15 (6): 1183–1189. arXiv:1810.11734. doi:10.1142/S1793042119500659. S2CID 62885986..
  18. ^ Iannucci, DE (2000). “The third largest prime divisor of an odd perfect number exceeds one hundred” (PDF). Mathematics of Computation. 69 (230): 867–879. Bibcode:2000MaCom..69..867I. doi:10.1090/S0025-5718-99-01127-8. Truy cập ngày 30 mon 3 năm 2011.
  19. ^ Bibby, Sean; Vyncke, Pieter; Zelinsky, Joshua (23 mon 11 năm 2021). “On the Third Largest Prime Divisor of an Odd Perfect Number” (PDF). Integers. 21. Truy cập ngày 6 mon 12 năm 2021.
  20. ^ Nielsen, Pace P.. (2015). “Odd perfect numbers, Diophantine equations, and upper bounds” (PDF). Mathematics of Computation. 84 (295): 2549–2567. doi:10.1090/S0025-5718-2015-02941-X. Bản gốc (PDF) tàng trữ ngày 8 mon 7 năm 2015. Truy cập ngày 13 mon 8 năm 2015.
  21. ^ Nielsen, Pace P.. (2007). “Odd perfect numbers have at least nine distinct prime factors” (PDF). Mathematics of Computation. 76 (260): 2109–2126. arXiv:math/0602485. Bibcode:2007MaCom..76.2109N. doi:10.1090/S0025-5718-07-01990-4. S2CID 2767519. Truy cập ngày 30 mon 3 năm 2011.

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

  • David Moews: Perfect, amicable and sociable numbers
  • Perfect numbers - History and Theory
  • Weisstein, Eric W., "perfect number", MathWorld.
  • List of Perfect Numbers Lưu trữ 2001-07-15 bên trên Wayback Machine at the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  • List of known Perfect Numbers Lưu trữ 2009-05-03 bên trên Wayback Machine All known perfect numbers are here.
  • OddPerfect.org Lưu trữ 2018-11-06 bên trên Wayback Machine A projected distributed computing project to tát tìm kiếm for odd perfect numbers.