Cách giải phương trình bậc 2

A. Phương trình bậc 2 là gì?

Phương trình bậc 2 là phương trình sở hữu dạng ax²+bx+c=0 (a≠0) (1).

Giải phương trình bậc 2 là đi kiếm những độ quý hiếm của x sao cho tới khi thay cho x nhập phương trình (1) thì vừa lòng ax²+bx+c=0.

Bạn đang xem: cách giải phương trình bậc 2

B. Giải phương trình bậc 2

Bước 1: Tính Δ=b²-4ac

Bước 2: So sánh Δ với 0

Δ < 0 => phương trình (1) vô nghiệm
Δ = 0 => phương trình (1) sở hữu nghiệm kép $x_{1} =x_{2} = - \frac{b}{2a}$
Δ > 0 => phương trình (1) sở hữu 2 nghiệm phân biệt, tớ sử dụng công thức nghiệm sau:

$x_{1} =\frac{-b+\sqrt{\triangle } }{2a}$ và $x_{2} =\frac{-b-\sqrt{\triangle } }{2a}$

C. Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai

D. Sử dụng Hệ thức Vi – et

Định lí Vi – ét

Nếu $x_{1};x_{2}$ là nghiệm của phương trình $ax^{2} + bx + c = 0;(a \neq 0)$ thì $\left\{ \begin{matrix}S = x_{1} + x_{2} = \dfrac{- b}{a} \\P = x_{1}.x_{2} = \dfrac{c}{a} \\\end{matrix} \right.$

Định lí Vi - et đảo

Nếu nhị số $x_{1};x_{2}$ có $\left\{ \begin{matrix} S = x_{1} + x_{2} \\ P = x_{1}.x_{2} \\ \end{matrix} \right.$ thì $x_{1};x_{2}$ là nghiệm của phương trình $x^{2} - Sx + Phường = 0$ , ( $x_{1};x_{2}$ tồn tại lúc $S^{2} - 4P \geq 0$ )

E. Ví dụ giải phương trình bậc hai

Ví dụ 1: Giải phương trình bậc nhị sau: $x^{2} - 49x - 50 = 0$

Hướng dẫn giải

Cách 1: Dùng công thức nghiệm (a = 1; b = -49; c = -50)

$\begin{matrix} \Delta = ( - 49)^{2} - 4.1.( - 50) = 2601 \\ \Rightarrow \sqrt{\Delta} = 51 \\ \end{matrix}$

Do ∆ > 0 nên phương trình sở hữu nhị nghiệm phân biệt $\left\{ \begin{matrix}x_{1} = \dfrac{- ( - 49) - 51}{2} = - 1 \\x_{2} = \dfrac{- ( - 49) + 51}{2} = 50 \\\end{matrix} \right.$

Cách 2: Nhẩm nghiệm

Do a – b + c = -1 – (-49) + (-50) = 0

Nên phương trình sở hữu nhị nghiệm $\left\{ \begin{matrix} x_{1} = - 1 \\ x_{2} = 50 \\ \end{matrix} \right.$

Cách 3: $\Delta = ( - 49)^{2} - 4.1.( - 50) = 2601 > 0$

Theo lăm le lí Vi – et tớ có:

$\left\{ \begin{matrix} S = x_{1} + x_{2} = 49 = ( - 1) + 50 \\ P = x_{1}.x_{2} = - 50 = ( - 1).50 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy phương trình sở hữu nhị nghiệm: $\left\{\begin{matrix}x_{1} = - 1 \\x_{2} = - \dfrac{- 50}{1} = 50 \\\end{matrix} \right.$

Ví dụ 2: Giải phương trình 4x²- 2x - 6 = 0 (2)

Δ=(-2)²- 4.4.(-6) = 4 + 96 = 100 > 0 => phương trình (2) tiếp tục cho tới sở hữu 2 nghiệm phân biệt.

$x_{1} =\frac{-(-2)+\sqrt{100} }{2.4} =\tfrac{3}{2}$ và $x_{2} = \frac{-(-2)-\sqrt{100} }{2.4} =-1$

Bạn cũng hoàn toàn có thể nhẩm Theo phong cách nhẩm nghiệm nhanh chóng, vì như thế nhận biết 4-(-2)+6=0, nên x₁ = -1, x₂ = -c/a = -(-6)/4=3/2. Nghiệm vẫn tương tự phía trên.

Ví dụ 3: Giải phương trình 2x²- 7x + 3 = 0 (3)

Xem thêm: trường đại học kỹ thuật công nghiệp

Tính Δ = (-7)²- 4.2.3 = 49 - 24= 25 > 0 => (3) sở hữu 2 nghiệm phân biệt:

$x_{1} =\frac{-(-7)+\sqrt{25} }{2.2} = 3$ và $x_{1} =\frac{-(-7)-\sqrt{25} }{2.2} = \frac{1}{2}$

Để đánh giá coi các bạn tiếp tục tính nghiệm đúng không nhỉ rất đơn giản, chỉ việc thay cho theo lần lượt x₁, x₂ nhập phương trình 3, nếu như rời khỏi thành quả vị 0 là chuẩn chỉnh. Ví dụ thay cho x₁, 2.3²-7.3+3=0.

Ví dụ 4: Giải phương trình 3x² + 2x + 5 = 0 (4)

Tính Δ = 2²- 4.3.5 = -56 < 0 => phương trình (4) vô nghiệm.

Ví dụ 5: Giải phương trình x² – 4x +4 = 0 (5)

Tính Δ = (-4)²- 4.4.1 = 0 => phương trình (5) sở hữu nghiệm kép:

$x_{1} =x_{2} =\frac{-(-4)}{2.1} =2$

Thực rời khỏi nếu như nhanh chóng ý, các bạn cũng hoàn toàn có thể nhìn rời khỏi phía trên đó là hằng đẳng thức kỷ niệm (a-b)²= a²- 2ab + b² nên dễ dàng và đơn giản ghi chép lại (5) trở thành (x - 2)²= 0 <=> x=2.

F. Phân tích nhiều thức trở thành nhân tử

Nếu phương trình (1) sở hữu 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂, khi này các bạn cũng hoàn toàn có thể ghi chép nó về dạng sau: ax²+ bx + c = a(x-x₁)(x-x₂) = 0.

Trở lại với phương trình (2), sau thời điểm lần rời khỏi 2 nghiệm x1, x2 chúng ta cũng có thể ghi chép nó về dạng: 4(x-3/2)(x+1)=0.

G. Giải phương trình bậc nhị chứa chấp tham lam số

1. Phương trình sở hữu nghiệm $\Leftrightarrow \Delta \geq 0$

2. Phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow \Delta < 0$

3. Phương trình sở hữu nghiệm có một không hai (Nghiệm kép hoặc nhị nghiệm vị nhau) $\Leftrightarrow \Delta = 0$

4. Phương trình sở hữu nhị nghiệm phân biệt (khác nhau) $\Leftrightarrow \Delta > 0$

5. Phương trình sở hữu nhị nghiệm nằm trong lốt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta \geq 0 \\ P > 0 \\ \end{matrix} \right.$

6. Phương trình sở hữu nhị nghiệm trái ngược lốt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta > 0 \\ P < 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow a.c < 0$

7. Phương trình sở hữu nhị nghiệm dương (Hai nghiệm to hơn 0) $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta \geq 0 \\ \begin{matrix} S > 0 \\ P > 0 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.$

8. Phương trình sở hữu nhị nghiệm âm (Hai nghiệm nhỏ rộng lớn 0) $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta \geq 0 \\ \begin{matrix} S < 0 \\ P > 0 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.$

9. Phương trình sở hữu nhị nghiệm đối nhau $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta \geq 0 \\ S = 0 \\ \end{matrix} \right.$

10. Hai nghiệm nghịch tặc hòn đảo nhau $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta \geq 0 \\ P = 1 \\ \end{matrix} \right.$

Xem thêm: asia's economic political and cultural importance is growing

Điều cần thiết ghi nhớ: $\left\{ \begin{matrix}S = x_{1} + x_{2} = \dfrac{- b}{a} \\P = x_{1}.x_{2} = \dfrac{c}{a} \\\end{matrix} \right.$

Đi ngay lập tức với phương trình bậc 2 còn tồn tại lăm le lý Vi-et với thật nhiều phần mềm như tính nhẩm nghiệm phương trình bậc 2 tiếp tục thưa phía trên, lần 2 số lúc biết tổng và tích, xác lập lốt của những nghiệm, hoặc phân tách trở thành nhân tử. Đây đều là những kỹ năng và kiến thức quan trọng tiếp tục nối sát với các bạn nhập quy trình học tập đại số, hoặc những bài xích tập dượt giải và biện luận phương trình bậc 2 trong tương lai, nên cần thiết ghi ghi nhớ kỹ và thực hành thực tế cho tới thuần thục.

Nếu sở hữu dự định bám theo học tập xây dựng, các bạn cũng cần phải có những kỹ năng và kiến thức toán cơ bạn dạng, thậm chí còn kỹ năng và kiến thức toán sâu sát, tùy nằm trong nhập dự án công trình các bạn sẽ thực hiện.