tổng của cấp số nhân

Cấp số nhân là phần kỹ năng và kiến thức cần thiết nhập công tác toán trung học phổ thông. Trong số đó, những công thức cấp cho số nhân khá phức tạp. Vì vậy, nhằm thực hiện bài xích luyện thì những em cần thiết ghi ghi nhớ và biết phương pháp áp dụng công thức. Cùng VUIHOC điểm lại những công thức và bài xích luyện cấp cho số nhân qua quýt nội dung bài viết tại đây.

1. Cấp số nhân là gì?

Cấp số nhân là 1 trong những mặt hàng số (hữu hạn hoặc vô hạn) thoả mãn ĐK Tính từ lúc số hạng loại nhị, từng số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay lập tức trước nó với một trong những ko thay đổi (hằng số này được gọi là công bội q của cấp cho số nhân). Có nghĩa là:

Bạn đang xem: tổng của cấp số nhân

u_{n} là cấp cho số nhân với \Leftrightarrow \forall n \geq 2, u_{n-1} với n \in N^{\ast }

Ví dụ: Dãy số (u_{n}), với u_{n}=3^{n} là 1 trong những cấp cho số nhân với số hạng đầu u_{1}=3 và công bội q = 3.

2. Công bội q

q là công bội của cấp cho số nhân un có 

Công bội q=\frac{u_{n+1}}{u_{n}}

Ví dụ 1: Cho cấp cho số nhân u_{1}=3,u_{2}=9. Tính công bội q

Ta có: 

q=\frac{u_{2}}{u_{1}}=\frac{9}{3}=3

Ví dụ 2: Cho cấp cho số nhân u_{3}=8,u_{4}=16 . Tính công bội q

Ta có: 

q=\frac{u_{4}}{u_{3}}=\frac{16}{8}=2

3. Tính hóa học cấp cho số nhân

  • $(u_{n})$ là 1 trong những cấp cho số nhân thì kể từ số hạng loại nhị, bình phương của từng số hạng (trừ số hạng cuối so với cấp cho số nhân hữu hạn) tiếp tục vày tích của số đứng trước và số đứng sau nó.

\Leftrightarrow (u_{k})^{2}=u_{k-1}.u_{k+1}

  • Nếu một cấp cho số nhân un đem số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát tháo un sẽ tiến hành tính vày công thức:

u_{n}=u_{1}.q^{n-1}

Ví dụ : Cho cấp cho số nhân $(u_{n})$ với công bội q > 0. 

Biết u1 = 1; u3 =3. Hãy dò xét u4

Lời giải: 

Ta có: u2= u. u= 3

          u3= u. u4

Từ (1) bởi u2  > 0 ( vì như thế u1=1 > 0 và q > 0)

\Rightarrow u_{4}=\frac{{u_{3}}^{2}}{u_{2}}

  • Khi q = 0 thì mặt hàng đem dạng u1; 0;0…;0;… và Sn=u1 

  • Khi q = 1 thì mặt hàng đem dạng u1;u1;u1;...;u1;... và Sn=nu1.

  • Khi u= 0 thì với từng q, cấp cho số nhân đem dạng 0; 0; 0;…; 0;… và Sn=u1.

Đăng ký ngay lập tức nhằm được trao hoàn toàn cỗ kỹ năng và kiến thức về cấp cho số nhân

4. Tổng hợp ý những công thức tính cấp cho số nhân cơ bản

4.1. Dạng 1: Nhận biết CSN

Phương pháp:

  • Tính q=\frac{u_{n+1}}{u_{n}} \forall n \geq 1

  • Kết luận: 

  • Nếu q là ko thay đổi thì mặt hàng un là cấp cho số nhân

  • Nếu q thay cho thay đổi thì mặt hàng un ko là cấp cho số nhân

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một cấp cho số nhân đem số hạng loại nhất là 2 và công bội là 2. Viết 6 số hạng trước tiên.

Lời giải: 

Ta đem 6 số hạng trước tiên là: 2, 4, 8, 16, 32, 64

Ví dụ 2 : Cấp số nhân Un đem số hạng loại nhị là 10 và số hạng loại năm là 1250.

  1. Tìm số hạng loại nhất

  2. Viết 5 số hạng đầu tiên

Lời giải:

  1. Đặt r là công bội của cấp cho số nhân.

 Ta có: r(5-2) = r3 hoặc r3 = 1250 : 10 = 125 = 53. Từ cơ r = 5. 

\Rightarrow u1=10=5=2. 

Số hạng loại nhất là 2 

  1. 2, 10, 50, 1250, 6250

Ví dụ 3: Bài mang lại cấp cho số nhân Un thỏa mãn: u_{n}=3^{\frac{n}{2}+1}. Dãy số Un bên trên là cấp cho số nhân đích thị hoặc sai? 

Lời giải: 

Ta có: \frac{u_{n}+1}{u_{n}}=\frac{3^{\frac{n+1}{2}+1}}{3^{\frac{n}{2}+1}}=\sqrt3=const không tùy theo n. Vậy mặt hàng số (Un) là 1 trong những cấp cho số nhân với số hạng đầu u_{1}=3\sqrt{3} và công bội là q=\sqrt3

4.2. Dạng 2: Tìm công bội của cấp cho số nhân

Phương pháp: Sử dụng những đặc thù của CSN, thay đổi nhằm tính công bội của CSN.

Ví dụ 1: Cho cấp cho số nhân Un đem U1 = 2, U2 = 4. Tính công bội q.

Từ công thức tao có: q=\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{4}{2}=2

Ví dụ 2: Cho cấp cho số nhân Un đem U1 = 3, U2 = -6. Tính công bội q.

Lời giải: 

Từ công thức tao có: 

q=\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{-6}{3}=-2

Ví dụ 3: Đề mang lại tía số x,y,z lập trở thành một cấp cho số nhân và tía số x, 2y, 3z lập trở thành một cấp cho số nằm trong. Tìm công bội q.

Lời giải: 

Đặt q là công bội của cấp cho số nhân trên

Các số x, 2y, 3z lập trở thành một cấp cho số nằm trong \Rightarrow x+3z=4y

Giải việc công thức cấp cho số nhân

4.3. Dạng 3: Tìm số hạng của cấp cho số nhân

Phương pháp:

Để dò xét số hạng của cấp cho số nhân tao dùng công thức tính số hạng tổng quát tháo Un = U1.qn-1 , n ≥ 2.

Ví dụ 1: Tìm u1 và q  của cấp cho số nhân biết: 

\left\{\begin{matrix} u_{4} - u_{2} = 72\\ u_{5} - u_{3} = 144 \end{matrix}\right.

Lời giải: 

Ta phát triển thành đổi: 

\left\{\begin{matrix} u_{1}q^{3} - u_{1}q = 72\\ u_{1}q^{4} - u_{1}q^{2} = 144 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q(q^{2} - 1) = 72\\ u_{1}q^{2}(q^{2} - 1) = 144 \end{matrix}\right.

\Rightarrow q = \frac{144}{72} = 2 \Rightarrow u_{1} = 12

Vậy cấp cho số nhân (un) đem u1 = 12 và q = 2

Ví dụ 2: Bài mang lại cấp cho số nhân (un) với u= 8 , u= 32. Số hạng loại 10 của cấp cho số nhân cơ là? 

Lời giải: 

Gọi q là công bội của cấp cho số nhân (un), tao đem q^{2}=\frac{u_{5}}{u_{3}}=4 \Rightarrow q = \pm 2

Với q = 2, tao đem u10 = u. q= 8 . 2= 1024

Với q = -2, tao đem u10 = u. q7= 8 . (-2)= -1024

Ví dụ 3: Cho cấp cho số nhân (un), hiểu được số hạng trước tiên u= 3, công bội là 2. Hãy dò xét số hạng loại 5

Lời giải: 

Áp dụng công thức tao đem : u= u. qn–1

\Leftrightarrow u= u. q=3 . 2= 48

4.4. Dạng 4: Tính tổng cấp cho số nhân của n số hạng trước tiên nhập dãy

Ta dùng công thức:

Công thức tính tổng CSN của n số hạng trước tiên nhập mặt hàng - công thức cấp cho số nhân

Ví dụ 1: Tính tổng cấp cho số nhân:

S = 2 + 6 + 18 + 13122

Lời giải:

(un) đem u1=2 và q = 3. 

13122 = u_{n} = u_{n}q^{n-1} = 2.3^{n-1} \Leftrightarrow n=9 \Rightarrow S=S_{9}=u_{1}\frac{q_{0}-1}{q-1}

Ví dụ 2: Bài mang lại cấp cho số nhân (un) với

(un): \left\{\begin{matrix} u_{3} = 243u_{8}\\ u_{4} = \frac{2}{27} \end{matrix}\right.

  1. 5 số hạng đầu của cấp cho số nhân bên trên là gì? 

  2. 10 số hạng đầu của cấp cho số nhân (un) bên trên đem tổng là bao nhiêu? 

Lời giải: 

Giải bài xích luyện vận dụng công thức cấp cho số nhân

Ví dụ 3: Cho cấp cho số nhân Un thỏa mãn: u_{n}=3^{\frac{n}{2}+1}

  1. Dãy số là cấp cho số nhân là đích thị hoặc sai?

  2. Tính S = u+ u+ u6... + u20

Lời giải: 

  1. Ta có: \frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{3^{\frac{n+1}{2}+1}}{3^{\frac{n}{2}+1}}=\sqrt{3}=const ko tùy theo n. Vậy mặt hàng số (Un) là 1 trong những cấp cho số nhân với số hạng đầu u_{1}=3\sqrt{3} và công bội là q=\sqrt{3}

  2. Dãy số: u2, u4, u6,..., u20 lập trở thành một cấp cho số nhân với số hạng đầu là u= 9, q = 3 

\Rightarrow S=u_{2}+u_{4}+u_{6}...+u_{20}=u_{2}\frac{1-3^{10}}{1-3}=\frac{9}{2}(3^{10}-1)

4.5. Dạng 5: Tìm CSN

Phương pháp:

Xác toan những bộ phận kết cấu nên một cấp cho số nhân như: số hạng đầu U1, công bội q tiếp sau đó suy rời khỏi được công thức mang lại số hạng tổng quát tháo .

Ví dụ 1: CSN (un) như sau, dò xét u1 khi:

u_{n} = \frac{2}{3^{n - 1}}

Mà u_{n} = \frac{2}{6561} \Rightarrow 3^{n - 1} = 6561 \Rightarrow n = 9

Lời giải: 

\left\{\begin{matrix} u_{1}(1 + q^{4}) = \frac{82}{11}\\ u_{1}(1 + q + q^{2} + q^{3} + q^{4}) = 11 \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q(1 + q + q^{2}) = \frac{32}{11}\\ u_{1}(1 + q^{4}) = \frac{82}{11} \end{matrix}\right.

\Rightarrow \frac{1 + q^{4}}{q(1 + q + q^{2})} = \frac{82}{39}

\Leftrightarrow Ta đem q = 3 hoặc q = \frac{1}{3}

Khi cơ lượt lượt u_{1} = \frac{81}{11} hoặc u_{1} = \frac{1}{11}

Xem thêm: trang trí lều trại lớp 8

Ví dụ 2: Dãy số này là cấp cho số nhân: 

  1. 1;0,2;0,04;0,008;...

  2. 1,22,222,2222,...

  3. X,2x,3x,4x,...

  4. 2,3,5,7,...

Lời giải: 

Xét đáp án A tao có: 

u= 1, u= u. 0,2, u= u. (0,2)2, u= u. (0,2)3

Sử dụng cách thức quy hấp thụ toán học tập tao chứng tỏ được u= (0,2)n

Khi cơ \frac{u_{n+1}}{u{n}}=\frac{(0,2)^{n+1}}{0,2}=0,2 ko đổi

Vậy mặt hàng số là cấp cho số nhân đem công bội q = 0,2

Ví dụ 3: Tìm cấp cho số nhân đem sáu số hạng, hiểu được tổng của năm số hạng đầu là 31 và tổng của năm số hạng sau là 62.

Lời giải: 

Gọi cấp cho số nhân (un) cần thiết dò xét đem công bội q, số hạng trước tiên un.

Ta có: s_{5} = \frac{u_{1} . (1-q)}{1-q}

s5' = u2 + u3 + u4 + u5 + u6

= u1q + u2q + u3q + u4q + u5q

= q . (u+ u+ u+ u+ u5)

= q . S5

Mà S= 31; S5' = 62

\Rightarrow q=2

u_{1}=\frac{s_{5}.(1-q)}{1-q^{5}}=1

Vậy cấp cho số nhân (un) là 1;2;4;8;16;32

Nắm hoàn toàn kỹ năng và kiến thức và cách thức giải từng dạng bài xích luyện Toán trung học phổ thông với cỗ bí mật độc quyền của VUIHOC ngay!!!

5. Cấp số nhân lùi vô hạn

5.1. Định nghĩa

Nếu cấp cho số nhân (un) đem công bội q vừa lòng -1 < q <1 thì cấp cho số nhân được gọi là lùi vô hạn.

S= u1(1 - qn)(1 - q) = u1(q- 1)(q - 1)

 Trong cơ sn là tổng n số hạng trước tiên của cấp cho số nhân (un)

Ví dụ: \frac{1}{3},\frac{1}{9},\frac{1}{27},\frac{1}{81},\frac{1}{243} là một cấp cho số nhân lùi vô hạn q=\frac{1}{3}

5.2. Bài toán tổng của cấp số nhân lùi hạn

Đề bài xích mang lại cấp cho số nhân lùi vô hạn (công bội q), vậy tao đem tổng của cấp số nhân lùi vô hạn S bằng: $S=\frac{u_{1}}{1-q}$

Ví dụ minh họa 

Ví dụ 1: Tính tổng 

S=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+...

Lời giải:

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u_{1}=1, q=\frac{-1}{3} nên 

S=\frac{1}{1+\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}

Ví dụ 2: Biểu thao diễn số thập phân vô hạn tuần trả 0,777… bên dưới dạng số

Lời giải: 

Ta có: 

0,777...= 0,7+0,07+0,007+...=\frac{7}{10}+\frac{7}{10^{2}}+\frac{7}{10^{3}}+...=\frac{\frac{7}{10}}{1-\frac{7}{10}}=\frac{7}{9}

Vậy 0,777...=\frac{7}{9}

Ví dụ 3: Tổng của một cấp cho số nhân lùi vô hạn là \frac{5}{3} tổng tía số hạng trước tiên của mặt hàng số là \frac{39}{25}. Xác toan (u1), q của cấp cho số đó?

Lời giải: 

Giải việc vận dụng công thức cấp cho số nhân

6. Một số bài xích luyện cấp cho số nhân và cách thức giải chi tiết

Câu 1: Cho cấp cho số nhân un đem công bội q

a) lõi u= 2, u6 = 486. Tìm q

b) lõi q= \frac{2}{3}, u_{4} = \frac{8}{21}. Tính u1

c) lõi u1 = 3, q = -2. Xác toan số 192 là số hạng loại bao nhiêu nhập cấp cho số nhân?

Lời giải: 

Áp dụng công thức un = u1.qn-1

a) Theo công thức bên trên tao có: u6 = u1.q5 \Rightarrow q^{5} = \frac{u_{6}}{u_{1}} = \frac{486}{2} = 243 \Rightarrow q = 3

b) Theo công thức tao có: u4 = u1.q3 \Rightarrow u_{1} = \frac{u_{4}}{q^{3}} = \frac{8}{21} . (\frac{3}{2})^{2} = \frac{9}{7}

c) Theo công thức tao có: 12 = 3.(-2)^{n - 1} \Rightarrow (-2)^{n - 1} = 64 \Rightarrow n - 1 = 6 \Rightarrow n = 7

Vậy số 192 là số hạng loại 7

Câu 2: Tìm những số hạng của cấp cho số nhân (un) biết cấp cho số nhân bao gồm đem 5 số hạng và:

a) TH1: u= 3 , u= 27

b) TH2: u– u2 = 25 ,  u3 – u1 = 50

Lời giải: 

a) Theo công thức un = u1.qn - 1 ta đem theo thứ tự những số hạng u3 và u5 được tính như sau:

u3 = u1.q2 \Rightarrow 3 = u1.q2 (1)

u5 = u1.q4 \Rightarrow 27 = u1.q4 (2)

Từ (1) và (2) tao rất có thể suy rời khỏi được

q^{2} = \frac{u_{1}.q^{4}}{u_{1}.q^{2}} = 9 \Rightarrow q = \pm 3

Xét ngôi trường hợp:

Với q = 3 tao đem u_{1} = \frac{1}{3} ta đem cấp cho số nhân theo thứ tự là: \frac{1}{3}; 1; 3; 9; 27

Với q = -3 tao đem u_{1} = -\frac{1}{3} ta đem cấp cho số nhân theo thứ tự là: \frac{1}{3}; -1; 3; -9; 27​​​​​​​​​​​​​​

b) Theo đề bài xích rời khỏi tao có:

\left\{\begin{matrix} u_{4} - u_{2} = 25\\ u_{3} - u_{1} = 50 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q^{3} - u_{1}q = 25\\ u_{1}q^{2} - u_{1} = 50 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q(q^{2} - 1) = 25 (1)\\ u_{1}(q^{2} - 1) = 50 (2) \end{matrix}\right.

Thay (2) nhập phương trình (1) tao đem 50.q = 25 \Leftrightarrow q = \frac{1}{2}

\Rightarrow u_{1} = -\frac{200}{3}

Vậy tao đem cấp cho số nhân như sau:

-\frac{200}{3}; -\frac{100}{3}; -\frac{50}{3}; -\frac{25}{3}; -\frac{25}{6}

Ví dụ 3: Tìm cấp cho số nhân đem sáu số hạng, hiểu được tổng của 5 số hạng đầu là 31 và tổng của 5 số hạng sau là 62

Lời giải:

Tổng của 5 số hạng đầu vày 31, kể từ cơ tao suy ra:

u1 + u2 + u3 + u4 + u5 = 31

\Rightarrow u1q + u2q + u3q + u4q + u5q = 31q

\Rightarrow u2 + u3 + u4 + u5 + u6 = 31q (1)

mà tổng của 5 số hạng sau  vày 62 kể từ cuộc suy ra

u2 + u3 + u4 + u5 + u6 = 31q = 62

vậy q = 2

Vì S5 = 31 = \frac{u_{1}(1 - 2^{5})}{1 - 2} \Rightarrow u_{1} = 1

Vậy tao đem cấp cho số nhân theo đòi đề bài xích là: 1, 2, 4, 8, 16, 32

Ví dụ 4: Tỉ lệ tăng dân sinh của tỉnh x là 1 trong,4%. lõi rằng bên trên thời gian tham khảo số dân của tỉnh lúc này là 1 trong,8 triệu con người, căn vặn với nút tăng bổng vì vậy thì sau 5 năm, 10 năm số nữa dân sinh của tỉnh cơ là?

Lời giải:

Gọi số dân của tỉnh cơ thời điểm hiện tại là N 

Sau 1 năm dân sinh tăng là 1 trong,4%N 

Vậy năm tiếp theo, số dân của tỉnh này đó là n + 1,4%N = 101,4%N 

Số dân tỉnh cơ sau từng năm lập trở thành một cấp cho số nhân như sau N ; (101,4/100)N ; (101,4/100)2N ; … 

Giả sử N=1,8 triệu con người thì sau 5 năm số dân của tỉnh là: (101,4/100)5. 1,8 = 1,9 (triệu dân) 

Và sau 10 năm được xem là (101,4/100)10. 1,8 = 2,1 (triệu dân)

Ví dụ 5: Đề bài xích mang lại un đem những số hạng 0, tìm  u1 biết:

u_{n}=\frac{2}{3^{n-1}}. Mà u_{n}=\frac{2}{6561} \Rightarrow 3^{n-1} = 6561 \Rightarrow n=9

Lời giải: 

Giải việc vận dụng công thức cấp cho số nhân

Tham khảo ngay lập tức một trong những dạng bài xích luyện thương gặp gỡ về cấp cho số nhân được những thầy cô VUIHOC tổng hợp

PAS VUIHOCGIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học tập online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:  

⭐ Xây dựng suốt thời gian học tập kể từ mất mặt gốc cho tới 27+  

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học tập theo đòi sở thích  

⭐ Tương tác thẳng hai phía nằm trong thầy cô  

⭐ Học tới trường lại cho tới lúc nào hiểu bài xích thì thôi

⭐ Rèn tips tricks gom bức tốc thời hạn thực hiện đề

⭐ Tặng full cỗ tư liệu độc quyền nhập quy trình học tập tập

Đăng ký học tập demo không tính phí ngay!!

Xem thêm: nhân tố sinh thái là gì

Trên đó là toàn cỗ lý thuyết và những dạng công thức cấp cho số nhân. Mong rằng với nội dung bài viết này, những em học viên rất có thể giải những bài xích luyện kể từ cơ bạn dạng cho tới nâng lên thật thành thục. Các em truy vấn Vuihoc.vn và ĐK khóa đào tạo nhằm học tập và ôn luyện kỹ năng và kiến thức Toán 11 phục vụ ôn ganh đua trung học phổ thông QG ngay lập tức kể từ thời điểm hôm nay nhé!

>> Xem thêm:

  • Tổng hợp ý những công thức cấp cho số nằm trong và cấp cho số nhân & bài xích tập
  • Cấp số nằm trong là gì? Công thức cấp cho số nằm trong và bài xích tập
  • Xác suất của phát triển thành cố
  • Giới hạn của mặt hàng số