căn bậc 2 của 2

By Admin 20/03/2024 0

"Hằng số Pythagoras" fake nhắm đến phía trên. Đừng lầm lẫn với Số Pythagoras.

Căn bậc nhì của 2 vày với phỏng nhiều năm của cạnh huyền của một tam giác vuông với nhì cạnh lòng vày 1.

Căn bậc nhì của 2, hoặc lũy quá 50% của 2, được viết lách là √2 hoặc 21⁄2, là số đại số dương sao mang đến Lúc nhân với chủ yếu nó, mang đến tao số 2. Đúng rộng lớn, nó được gọi là căn bậc nhì số học tập của 2 nhằm phân biệt với số đối của chính nó với đặc thù tương tự động.

Bạn đang xem: căn bậc 2 của 2

Trong hình học tập, căn bậc nhì của 2 là phỏng nhiều năm lối chéo cánh của một hình vuông vắn với cạnh nhiều năm 1 đơn vị; bắt đầu từ toan lý Pythagoras. Nó có lẽ rằng là số vô tỉ được nghe biết trước tiên.

Một số hữu tỉ xấp xỉ với căn bậc nhì của nhì với kiểu mẫu số nhỏ vừa phải cần là phân số 99/70 (≈ 1.4142857).

Dãy A002193 nhập OEIS bao gồm những chữ số nhập trình diễn thập phân của căn bậc nhì của 2, cho tới 65 chữ số thập phân:

1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799...

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Bản khu đất sét Babylon YBC 7289 với chú giải. Ngoài việc đã cho chúng ta thấy căn bậc nhì của 2 nhập hệ lục thập phân (1 24 51 10), bạn dạng khu đất sét này cũng cho 1 ví dụ nếu như một cạnh của hình vuông vắn là 30 thì lối chéo cánh là 42 25 35. Trong hệ lục thập phân 30 rất có thể là 0 30 = 1/2, còn 0 42 25 35 xấp xỉ vày 0.7071065.

Bảng khu đất sét Babylon YBC 7289 (khoảng 1800–1600 TCN) cho 1 xấp xỉ của √2 nhập tư chữ số lục thập phân, 1 24 51 10, đích cho tới khoảng tầm sáu chữ số thập phân,[1] và là xấp xỉ lục thập phân cực tốt của √2 người sử dụng 4 chữ số:

Một xấp xỉ nguyên sơ không giống xuất hiện nay nhập văn khiếu nại toán học tập của chặn Độ thượng cổ, quyển Sulbasutras (khoảng 800–200 BC) như sau: Tăng phỏng nhiều năm [của cạnh] vày một trong những phần tía chủ yếu nó và một trong những phần tư của một trong những phần tía và giảm sút một trong những phần tía mươi tư của một trong những phần tư cơ.[2] Tức là,

Các môn đồ gia dụng của Pythagoras vạc hiện nay rằng lối chéo cánh của hình vuông vắn và cạnh của chính nó là ko thể ví được, hoặc bám theo ngữ điệu văn minh, căn bậc nhì của 2 là một số trong những vô tỉ. Không nhiều điều được thấu hiểu về thời hạn hoặc tình cảnh của tò mò này, tuy nhiên cái thương hiệu thông thường được nói tới là Hippasus của Metapontum. Các môn đồ gia dụng Pythagoras coi tính vô tỉ của căn bậc nhì của 2 là 1 trong những kín đáo, và bám theo lời nói kể, Hippasus đã biết thành giết thịt vì như thế bật mí nó.[3][4][5] Căn bậc nhì của 2 đôi lúc còn được gọi là số Pythagoras hoặc hằng số Pythagoras, như nhập Conway & Guy (1996).[6]

Thuật toán tính toán[sửa | sửa mã nguồn]

Có một số trong những thuật toán nhằm xấp xỉ √2, thông thường là bên dưới dạng tỉ số của nhì số nguyên vẹn hoặc một số trong những thập phân. Thuật toán phổ cập nhất mang đến việc này, được sử dụng thực hiện hạ tầng trong vô số nhiều PC và PC thu về, là cách thức Babylon[7], một trong mỗi cách thức tính căn bậc nhì. Thuật toán này như sau:

Đầu tiên, đoán một số trong những a0 > 0 bất kì. Sau cơ, người sử dụng số vừa phải đoán, tính từng số hạng bám theo công thức truy hồi sau:

Càng rất nhiều lần tiến hành phép tắc tính bên trên (tức là phổ biến lượt tái diễn và số "n" càng lớn), mang đến tao xấp xỉ càng chất lượng tốt của căn bậc nhì của 2. Mỗi lượt tính mang đến tao khoảng tầm gấp rất nhiều lần số chữ số đích. Bắt đầu với a0 = 1 những số tiếp sau là

  • 3/2 = 1.5
  • 17/12 = 1.416...
  • 577/408 = 1.414215...
  • 665857/470832 = 1.4142135623746...

Giá trị của √2 được xem cho tới 137.438.953.444 chữ số thập phân vày team của Yasumasa Kanada năm 1997. Tháng hai năm 2006, kỉ lục mang đến việc tính √2 bị đánh tan dùng một cái máy tính cá thể. Shigeru Kondo tính 1 ngàn tỷ chữ số thập phân của căn bậc nhì của 2 nhập năm 2010.[8] Trong số những hằng số toán học tập với trình diễn thập phân cần thiết nhiều khoáng sản đo lường, chỉ mất π là được xem đúng mực rộng lớn.[9] Những đo lường vì vậy đa số là nhằm đánh giá vày thực nghiệm coi những số cơ liệu có phải là thông thường hay là không.

Xấp xỉ hữu tỉ[sửa | sửa mã nguồn]

Một xấp xỉ hữu tỉ giản dị 99/70 (≈ 1.4142857) thông thường được dùng. Mặc dù là kiểu mẫu số đơn giản 70, phỏng sai nghiêng của chính nó với độ quý hiếm thực sự thấp hơn 1/10,000 (khoảng +072×10−4). Do nó là 1 trong những giản phân của trình diễn liên phân số của căn bậc nhì của 2, bất kì xấp xỉ hữu tỉ này ngay gần rộng lớn cần với kiểu mẫu số ko nhỏ hơn 169, vì thế 239/169 (≈ 1.4142012) là giản phân tiếp sau với sai số khoảng tầm −012×10−4.

Xấp xỉ hữu tỉ 665857/470832, kể từ bước loại tư nhập cách thức Babylon phía trên chính thức với a0 = 1, với sai số khoảng tầm 16×10−12: bình phương của chính nó là 20000000000045…

Kỉ lục[sửa | sửa mã nguồn]

Đây là bảng những kỉ lục mới đây trong các công việc tính những chữ số của √2 (1 ngàn tỉ = 1012 = một triệu.000.000).

Ngày Tên Số chữ số
28 mon 6 năm 2016 Ron Watkins 10 ngàn tỷ
3 tháng tư năm 2016 Ron Watkins 5 ngàn tỷ
9 mon hai năm 2012 Alexander Yee 2 ngàn tỷ
22 mon 3 năm 2010 Shigeru Kondo 1 ngàn tỷ
Nguồn:[10]

Chứng minh tính vô tỉ[sửa | sửa mã nguồn]

Một chứng tỏ cộc về tính chất vô tỉ của √2 dùng toan lý nghiệm hữu tỉ, tuyên bố rằng nếu như P(x) là 1 trong những nhiều thức monic với thông số nguyên vẹn, thì bất kì nghiệm hữu tỉ này của P(x) cũng chính là một số trong những nguyên vẹn. kề dụng toan lý mang đến nhiều thức P(x) = x2 − 2, tao suy đi ra √2 hoặc là số nguyên vẹn hoặc là số vô tỉ. Vì 1<√2<2 nên nó ko là một số trong những nguyên vẹn, vì thế √2 là một số trong những vô tỉ. Chứng minh này rất có thể tổng quát: căn bậc nhì của bất kì số bất ngờ này ko cần số chủ yếu phương là một số trong những vô tỉ.

Xem số vô tỉ bậc nhì hoặc lùi vô hạn mang đến chứng tỏ rằng căn bậc nhì của bất kì số bất ngờ ko cần số chủ yếu phương nào thì cũng là vô tỉ.

Chứng minh vày lùi vô hạn[sửa | sửa mã nguồn]

Một trong mỗi chứng tỏ phổ cập nhất dùng cách thức lùi vô hạn. Đây cũng chính là chứng tỏ vày phản triệu chứng, nhập cơ mệnh đề cần thiết chứng tỏ được fake sử là sai rồi suy đi ra fake sử này sẽ không thể xẩy ra, tức mệnh đề cần thiết chứng tỏ là đích.

  1. Giả sử √2 là một số trong những hữu tỉ, tức √2 rất có thể viết lách bên dưới dạng một phân số tối giản a/b, nhập cơ a và b thành phần bên cạnh nhau.
  2. Ta suy đi ra a2/b2 = 2 và a2 = 2b2.   (a2 và b2 là những số nguyên)
  3. Do cơ a2 là số chẵn, nên a cũng chính là số chẵn, tức tồn bên trên số nguyên vẹn k sao mang đến a = 2k.
  4. Thay 2k mang đến a nhập đẳng thức ở bước 2: 2b2 = (2k)2 tao được b2 = 2k2.
  5. Lập luận như bước 3, tao được b2 là số chẵn, nên b là số chẵn.
  6. Như vậy cả a và b đều là số chẵn, ngược với fake thiết rằng a và b là nhì số thành phần bên cạnh nhau.

Vì tao suy đi ra được một điều vô lý, fake sử (1) rằng √2 là số hữu tỉ là sai. Tức là, √2 cần là một số trong những vô tỉ.

Chứng minh này được khêu ý vày Aristotle, nhập cuốn Analytica Priora, §I.23.[11] Chứng minh hoàn hảo trước tiên xuất hiện nay nhập cỗ Thương hiệu của Euclid, là mệnh đề 117 của Quyển X. Tuy nhiên, từ trên đầu thế kỷ 19 nhiều sử gia nhận định rằng chứng tỏ này sẽ không trực thuộc bạn dạng thảo gốc và vì thế ko thể nghĩ rằng của Euclid.[12]

Chứng minh hình học[sửa | sửa mã nguồn]

Hình 1. Chứng minh hình học tập của Stanley Tennenbaum mang đến tính vô tỉ của √2.

Một trình diễn hình học tập của chứng tỏ bên trên được John Horton Conway nghĩ rằng của Stanley Tennenbaum Lúc ông còn là một học viên đầu những năm 1950[13] và lượt xuất hiện nay mới đây nhất là nhập một bài xích báo vày Noson Yanofsky nhập tập san American Scientist số mon 5-6 năm 2016.[14] Cho nhì hình vuông vắn với cạnh là số nguyên vẹn a và b, nhập cơ một chiếc với diện tích S gấp rất nhiều lần dòng sản phẩm cơ, đặt điều nhì hình vuông vắn nhỏ nhập hình vuông vắn rộng lớn như nhập hình 1. Phần kí thác nhau ở thân ái với diện tích S ((2b − a)2) cần vày tổng diện tích S của nhì hình vuông vắn nhỏ ko được lấp phủ (2(a − b)2). Như vậy tao nhận được nhì hình vuông vắn nhỏ rộng lớn những hình vuông vắn lúc đầu và diện tích S điều này gấp rất nhiều lần dòng sản phẩm cơ. Lặp lại quy trình này tao rất có thể thu nhỏ những hình vuông vắn tùy ý, tuy nhiên điều này là vô nguyên nhân bọn chúng cần với cạnh là số nguyên vẹn dương, tức to hơn hoặc vày 1.

Hình 2. Chứng minh hình học tập của Tom Apostol mang đến tính vô tỉ của √2.

Một chứng tỏ hình học tập dùng phản triệu chứng không giống xuất hiện nay năm 2000 nhập tập dượt san American Mathematical Monthly.[15] Nó cũng là 1 trong những chứng tỏ dùng cách thức lùi vô hạn, bên cạnh đó dùng phép tắc dựng hình vày thước kẻ và compa và được biết kể từ thời Hy Lạp thượng cổ.

Lấy △ABC vuông cân nặng với cạnh huyền m và cạnh mặt mũi n như nhập Hình 2. Theo toan lý Pythagoras, m/n = √2. Giả sử m và n là những số nguyên vẹn và m:n là phân số tối giản

Vẽ những cung BD và CE với tâm A. Nối DE hạn chế BC bên trên F. Dễ thấy, nhì tam giác ABC và ADE đều bằng nhau bám theo cạnh-góc-cạnh.

Ngoài đi ra tao cũng thấy △BEF là tam giác vuông cân nặng. Do cơ BE = BF = m − n. Theo tính đối xứng, DF = m − n, và △FDC cũng chính là tam giác vuông cân nặng. Ta suy đi ra FC = n − (m − n) = 2n − m.

Như vậy tao với cùng 1 tam giác vuông cân nặng nhỏ rộng lớn với cạnh huyền 2n − m và cạnh mặt mũi m − n. Chúng nhỏ rộng lớn m và n tuy vậy với nằm trong tỉ lệ thành phần, ngược với fake thiết là m:n là tối giản. Do cơ, m và n ko thể nằm trong là số nguyên vẹn, nên √2.

Chứng minh trực tiếp[sửa | sửa mã nguồn]

Một phía lên đường không giống mang tính chất thiết kế là thiết lập 1 ngăn bên dưới mang đến hiệu của √2 và một số trong những hữu tỉ bất kì. Với nhì số nguyên vẹn dương a và b, số nón đích của 2 (tức số nón của 2 nhập khai triển đi ra quá số nguyên vẹn tố) của a2 là chẵn, còn của 2b2 là lẻ, nên bọn chúng là những số nguyên vẹn không giống nhau; vì thế | 2b2 − a2 | ≥ 1 với từng a, b nguyên vẹn dương. Khi đó[16]

Xem thêm: đại học thể dục thể thao bắc ninh

bất đẳng thức cuối đích vì thế tao fake sử a/b ≤ 3 − √2 (nếu ko thì hiệu bên trên minh bạch to hơn 3 − 2√2 > 0). Bất đẳng thức này mang đến tao ngăn bên dưới 1/3b2 của hiệu | √2 − a/b |, kể từ cơ kéo theo chứng tỏ tính vô tỉ thẳng tuy nhiên ko cần thiết fake sử phản triệu chứng. Chứng minh này cho là tồn bên trên một khoảng cách thân ái √2 và ngẫu nhiên số hữu tỉ này.

Tính hóa học của căn bậc nhì của 2[sửa | sửa mã nguồn]

Một nửa của √2, bên cạnh đó cũng chính là nghịch tặc hòn đảo của √2, xấp xỉ vày 0.707106781186548, là 1 trong những độ quý hiếm thông thường gặp gỡ nhập hình học tập và lượng giác vì như thế vectơ đơn vị chức năng tạo ra góc 45° với những trục thì với tọa độ

Số này thỏa mãn

Một độ quý hiếm với tương quan là tỷ trọng bạc. Hai số dương a, b với tỷ lệ bạc δS nếu

.

Bằng cơ hội biến hóa về phương trình bậc nhì, tao rất có thể giải được δS = 1 + √2.

√2 rất có thể được trình diễn bám theo đơn vị chức năng ảo i chỉ dùng căn bậc nhì và những phép tắc toán số học:

nếu ký hiệu căn bậc nhì được khái niệm phải chăng mang đến số phức i và −i.

√2 cũng chính là số thực có một không hai không giống 1 tuy nhiên tetration vô hạn lượt vày với bình phương của chính nó. Một cơ hội tuyên bố nghiêm ngặt như sau: nếu như với số thực c > 1 tao khái niệm x1 = c và xn+1 = cxn với n > 1, thì số lượng giới hạn của xn Lúc n → ∞ (nếu tồn tại) gọi là f(c). Khi ấy √2 là số c > 1 có một không hai thỏa f(c) = c2. Hay phát biểu cơ hội khác:

√2 cũng xuất hiện nay nhập công thức Viète mang đến π:

với m lốt căn và đích một lốt trừ.[17]

Ngoài đi ra, √2 còn xuất hiện nay trong vô số nhiều hằng con số giác:[18]

Hiện vẫn chưa chắc chắn liệu √2 liệu có phải là số chuẩn chỉnh, một đặc thù mạnh rộng lớn tính vô tỉ, tuy nhiên phân tách đo đếm trình diễn của chính nó nhập hệ nhị phân đã cho chúng ta thấy với kỹ năng nó chuẩn chỉnh nhập hệ cơ số nhì.[19]

Biểu thao diễn chuỗi[sửa | sửa mã nguồn]

Hệ thức cos π/4 = sin π/4 = 1/√2, cùng theo với những trình diễn tích vô hạn của sin và cosin mang đến ta

và

hoặc tương tự,

Ngoài đi ra tao rất có thể người sử dụng chuỗi Taylor của những dung lượng giác. Ví dụ, chuỗi Taylor mang đến cos π/4 mang đến ta

Chuỗi Taylor mang đến √1 + x với x = 1 cùng theo với giai quá kép n!! mang đến ta

Sử dụng biến hóa Euler nhằm đẩy mạnh vận tốc quy tụ của sản phẩm, tao được

Một công thức dạng BBP mang đến √2 vẫn không được mò mẫm đi ra, tuy vậy tiếp tục với những công thức dạng BBP mang đến π√2 và √2ln(1+√2).[20]

√2 rất có thể trình diễn vày phân số Ai Cập, với kiểu mẫu số vày những số hạng loại 2n của một sản phẩm hồi quy tuyến tính tương đương sản phẩm Fibonacci. Đặt a0 = 0, a1 = 6, an = 34an − 1 − an − 2[21]

Liên phân số[sửa | sửa mã nguồn]

Xấp xỉ căn bậc nhì của 2 vày sản phẩm giản phân.

Căn bậc nhì của 2 với trình diễn vày liên phân số sau:

Những giản phân trước tiên là: 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, 577/408. Giản phân p/q cơ hội √2 một khoảng tầm ngay gần vày 1/2q2√2[cần dẫn nguồn] và giản phân tiếp sau là p + 2q/p + q.

Bình phương lồng nhau[sửa | sửa mã nguồn]

Biểu thức tại đây quy tụ về √2:

Hằng số liên quan[sửa | sửa mã nguồn]

Nghịch hòn đảo của căn bậc nhì của 2 (căn bậc nhì của 1/2) là 1 trong những hằng số thông thường người sử dụng.

Xem thêm: sư phạm thành phố hồ chí minh

(dãy số A010503 nhập bảng OEIS)

Khổ giấy[sửa | sửa mã nguồn]

Năm 1786, GS cơ vật lý người Đức Georg Lichtenberg[22] vạc hiện nay rằng ngẫu nhiên tờ giấy má này với cạnh nhiều năm dài vội vã √2 lượt cạnh cộc rất có thể được gấp rất nhiều lần muốn tạo trở nên một tờ giấy má mới mẻ với tỉ lệ thành phần y chang tờ lúc đầu. Tỉ lệ giấy má này đảm bảo rằng hạn chế giấy má trở nên nhì nửa tạo ra những tờ giấy má nhỏ rộng lớn nằm trong tỉ lệ thành phần. Khi Đức chuẩn chỉnh hóa khung giấy nhập vào đầu thế kỷ trăng tròn, bọn họ người sử dụng tỉ lệ thành phần của Lichtenberg muốn tạo trở nên giấy má cực "A".[22] Hiện ni, tỉ lệ thành phần khuông hình (xấp xỉ) của khung giấy bám theo tiêu xài chuẩn chỉnh ISO 216 (A4, A0, vân vân) là 1:√2.

Chứng minh:
Gọi cạnh cộc và cạnh nhiều năm của tờ giấy má, với

bám theo ISO 216.

Gọi là tỉ số của 50% tờ giấy má thì

.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

  • Căn bậc nhì của 3
  • Căn bậc nhì của 5
  • Tỷ lệ bạc, 1 + √2
  • Căn bậc nhì của 2 tạo hình nhập mối liên hệ Một trong những f-stop của thấu kính máy hình ảnh, kéo theo tỉ lệ thành phần diện tích thân ái nhì khẩu phỏng liên tục là 2.
  • Hằng số Gelfond–Schneider, 2√2.
  • Công thức Viète mang đến pi

Ghi chú[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Fowler và Robson, trang 368.
    Photograph, illustration, and mô tả tìm kiếm of the root(2) tablet from the Yale Babylonian Collection Lưu trữ 2012-08-13 bên trên Wayback Machine
    High resolution photographs, descriptions, and analysis of the root(2) tablet (YBC 7289) from the Yale Babylonian Collection
  2. ^ Henderson.
  3. ^ Stephanie J. Morris, "The Pythagorean Theorem" Lưu trữ 2013-05-30 bên trên Wayback Machine, Khoa Sư phạm Toán, Đại học tập Georgia.
  4. ^ Brian Clegg, "The Dangerous Ratio..." Lưu trữ 2013-06-27 bên trên Wayback Machine, Nrich.org, mon 11 2004.
  5. ^ Kurt von Fritz, "The discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum", Annals of Mathematics, 1945.
  6. ^ Conway, John H.; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, Copernicus, tr. 25
  7. ^ Mặc cho dù thời nay cụm kể từ "phương pháp Babylon" được sử dụng khá phổ cập, không tồn tại dẫn chứng thẳng này đã cho chúng ta thấy cơ hội người Babylon tính xấp xỉ √2 bên trên bạn dạng khu đất sét YBC 7289. Fowler và Robson khuyến cáo một số trong những fake thiết.
    Fowler và Robson, p. 376. Flannery, p. 32, 158.
  8. ^ “Constants and Records of Computation”. Numbers.computation.free.fr. ngày 12 mon 8 năm 2010. Bản gốc tàng trữ ngày một mon 3 năm 2012. Truy cập ngày 7 mon 9 năm 2012.
  9. ^ “Number of known digits”. Numbers.computation.free.fr. ngày 12 mon 8 năm 2010. Bản gốc tàng trữ ngày một mon 3 năm 2012. Truy cập ngày 7 mon 9 năm 2012.
  10. ^ “Records Set by y-cruncher”. Bản gốc tàng trữ ngày trăng tròn mon 10 năm 2015. Truy cập ngày 3 mon 10 năm 2019.
  11. ^ Trong Lúc viết lách về triệu chứng mihn vày phản triệu chứng, Aristotle nói: "đường chéo cánh của hình vuông vắn là ko thể ví được với cạnh của chính nó, cũng chính vì số lẻ tiếp tục ngay số chẵn nếu như bọn chúng ví được với nhau".
  12. ^ Phiên bạn dạng giờ Hy Lạp của cục Cơ sở xuất bạn dạng vày E. F. August bên trên Berlin nhập 1826–1829 fake chứng tỏ này nhập phần Phụ lục. Điều tương tự động xẩy ra với phiên bạn dạng của sử gia J. L. Heiberg (1883–1888).
  13. ^ Proof 8‴ Lưu trữ 2016-04-22 bên trên Wayback Machine
  14. ^ Yanofsky, N. (2016). “Paradoxes, Contradictions, and the Limits of Science”. Bản gốc tàng trữ ngày 30 mon 6 năm năm 2016.
  15. ^ Tom M. Apostol (tháng 11 năm 2000), “Irrationality of The Square Root of Two -- A Geometric Proof”, The American Mathematical Monthly, 107 (9): 841–842, doi:10.2307/2695741
  16. ^ Katz, Karin Usadi; Katz, Mikhail G. (2011), “Meaning in Classical Mathematics: Is it at Odds with Intuitionism?”, Intellectica, 56 (2): 223–302 (Mục 2.3, chú giải 15), arXiv:1110.5456, Bibcode:2011arXiv1110.5456U
  17. ^ Courant, Richard; Robbins, Herbert (1941), What is mathematics? An Elementary Approach đồ sộ Ideas and Methods, London: Oxford University Press, tr. 124
  18. ^ Julian D. A. Wiseman Sin and cos in surds Lưu trữ 2009-05-06 bên trên Wayback Machine
  19. ^ Good & Gover (1967).
  20. ^ “Archived copy” (PDF). Bản gốc (PDF) tàng trữ ngày 10 mon 6 năm 2011. Truy cập ngày 30 tháng tư năm 2010.Quản lý CS1: bạn dạng tàng trữ là title (liên kết)
  21. ^ “Sloane's A082405”. Bảng tra cứu giúp sản phẩm số nguyên vẹn trực tuyến. Tổ chức OEIS.
  22. ^ a b Houston, Keith (2016). The Book: A Cover-to-Cover Exploration of the Most Powerful Object of Our Time. W. W. Norton & Company. tr. 324. ISBN 0393244806.

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  • Apostol, Tom M. (2000), “Irrationality of square root of 2 – A geometric proof”, American Mathematical Monthly, 107 (9): 841–842, doi:10.2307/2695741, JSTOR 2695741.
  • Aristotle (2007), Analytica priora, eBooks@Adelaide
  • Bishop, Errett (1985), Schizophrenia in contemporary mathematics. Errett Bishop: reflections on him and his research (San Diego, Calif., 1983), 1–32, Contemp. Math. 39, Amer. Math. Soc., Providence, RI.
  • Flannery, David (2005), The Square Root of Two, Springer-Verlag, ISBN 0-387-20220-X.
  • Fowler, David; Robson, Eleanor (1998), “Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context” (PDF), Historia Mathematica, 25 (4): 366–378, doi:10.1006/hmat.1998.2209, Bản gốc (PDF) tàng trữ ngày 3 mon 9 năm 2006.
  • Good, I. J.; Gover, T. N. (1967), “The generalized serial test and the binary expansion of √2”, Journal of the Royal Statistical Society, Series A, 130 (1): 102–107, doi:10.2307/2344040, JSTOR 2344040.
  • Henderson, David W. (2000), “Square roots in the Śulba Sūtras”, nhập Gorini, Catherine A. (biên tập), Geometry At Work: Papers in Applied Geometry, Cambridge University Press, tr. 39–45, ISBN 978-0-88385-164-7.

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

  • Gourdon, X.; Sebah, P.. (2001), “Pythagoras' Constant: √2”, Numbers, Constants and Computation.
  • Weisstein, Eric W., "Pythagoras's Constant" kể từ MathWorld.
  • Căn bậc nhì của Hai cho tới 5 triệu chữ số vày Jerry Bonnell và Robert J. Nemiroff. Tháng 5, 1994.
  • Căn bậc nhì của 2 là vô tỉ, một tuyển chọn tập dượt những triệu chứng minh
  • Grime, James; Bowley, Roger. “The Square Root √2 of Two”. Numberphile. Brady Haran. Bản gốc tàng trữ ngày 22 mon 5 năm 2017. Truy cập ngày 19 mon 12 năm 2019.