căn bậc 2 của 3

Bách khoa toàn thư cởi Wikipedia

Căn bậc nhì của 3 là một số trong những thực dương sao mang đến khi nhân với chủ yếu nó thì đã cho ra số 3. Chính xác rộng lớn, nó được gọi là căn bậc nhì số học tập của 3, nhằm phân biệt với số tâm đem nằm trong đặc thù. Nó được kí hiệu là 3 hoặc 312.

Bạn đang xem: căn bậc 2 của 3

Căn bậc nhì của 3 là một số trong những vô tỉ. Nó còn được biết là hằng số Theodorus, mệnh danh theo đuổi Theodorus xứ Cyrene, người tiếp tục chứng tỏ tính vô tỉ của chính nó.

Sáu mươi chữ số thứ nhất vô trình diễn thập phân của chính nó là:

1.73205080756887729352744634150587236694280525381038062805580… (dãy số A002194 vô bảng OEIS)

Thuật toán tính toán[sửa | sửa mã nguồn]

Có một số trong những phương pháp để xấp xỉ độ quý hiếm của 3. Thuật toán thông thường được sử dụng trong những PC cá thể và PC tiếp thu là cách thức Babylon nhằm tính căn bậc nhì của một số trong những. Các bước tổ chức như sau:

  1. Lấy một số trong những a0 > 0 bất kì thực hiện độ quý hiếm lúc đầu (càng sát 3 càng tốt)
  2. Tính từng số hạng theo đuổi công thức truy hồi sau:
  1. Lặp lại bước 2 cho tới khi đạt được phỏng đúng chuẩn quan trọng.

Dãy (an) bên trên là mặt hàng quy tụ bậc nhì, tức từng phen tính mang đến tớ khoảng tầm gấp hai số chữ số thập phân đích. Bắt đầu với a0 = 1 mang đến tớ những xấp xỉ:

  • a1 = 7/4 = 1.75
  • a2 = 97/56 = 1.73214...
  • a3 = 18817/10864 = 1.73205081...
  • a4 = 708158977/408855776 = 1.732050807568877295...

Tháng 12 năm trước đó, độ quý hiếm của 3 tiếp tục được xem cho tới tối thiểu chục tỉ chữ số thập phân.[1]

Xấp xỉ hữu tỉ[sửa | sửa mã nguồn]

Phân số 97/56 (1732142857…) hoàn toàn có thể được sử dụng thực hiện xấp xỉ mang đến căn bậc nhì của 3. Tuy chỉ mất kiểu số 56, nó chỉ ngăn cách độ quý hiếm đích thấp hơn 1/10,000 (khoảng 92×10−5). Giá trị thực hiện tròn trặn 1.732 đích cho tới 99.99% độ quý hiếm thực.

Archimedes xác minh rằng (1351/780)2
> 3 > (265/153)2
,[2] theo lần lượt với sai số là 1/608400 (sáu chữ số thập phân) và 2/23409 (bốn chữ số thập phân).

Liên phân số[sửa | sửa mã nguồn]

3 hoàn toàn có thể được trình diễn vì thế phân số liên tiếp [1;1,2,1,2,1,2,1,…] (dãy số A040001 vô bảng OEIS), tức là

Theo đặc thù của liên phân số thì nếu

thì khi n 🡒 ∞

Xem thêm: chỉ ra biện pháp tu từ

Ngoài rời khỏi cũng hoàn toàn có thể biễu biểu diễn bên dưới dạng liên phân số tổng quát mắng như

thực hóa học là [1;1,2,1,2,1,2,1,…] tính nhì số hạng đồng thời.

Biểu biểu diễn bình phương[sửa | sửa mã nguồn]

Biểu thức bình phương lồng nhau sau tiến bộ về 3:

Chứng minh tính vô tỉ[sửa | sửa mã nguồn]

Chứng minh vì thế lùi vô hạn[sửa | sửa mã nguồn]

Chứng minh thông thường được sử dụng mang đến tính vô tỉ của 3 dùng cách thức lùi vô hạn của Fermat. Phương pháp này hoàn toàn có thể được vận dụng mang đến bất kì số vẹn toàn này ko cần là số chủ yếu phương.

  1. Giả sử 3 là một số trong những hữu tỉ, tức 3 hoàn toàn có thể viết lách bên dưới dạng một phân số tối giản a/b, vô tê liệt ab nhân tố bên cạnh nhau.
  2. Ta suy rời khỏi a2/b2 = 3 hoặc a2 = 3b2.   (a2b2 là những số nguyên)
  3. Do tê liệt a2 phân tách không còn mang đến 3, nên a cũng phân tách không còn mang đến 3, tức tồn bên trên số vẹn toàn k sao mang đến a = 3k.
  4. Thay 3k mang đến a vô đẳng thức ở bước 2: 3b2 = (3k)2 tớ được b2 = 3k2.
  5. Lập luận như bước 3, tớ được b2 là số phân tách không còn mang đến 3, nên b cũng phân tách không còn mang đến 3.
  6. Như vậy cả ab đều phân tách không còn mang đến 3, nên bọn chúng mang 1 ước công cộng là 3, ngược với fake thiết rằng ab là nhì số nhân tố bên cạnh nhau.

Chứng minh vì thế tấp tểnh lý nghiệm hữu tỉ[sửa | sửa mã nguồn]

Một chứng tỏ không giống mang đến tính vô tỉ của 3 là dùng một tình huống đặc biệt quan trọng của tấp tểnh lý nghiệm hữu tỉ, tuyên bố rằng nếu như P(x) là một trong nhiều thức monic (tức nhiều thức đem thông số bậc tối đa vì thế 1) với thông số vẹn toàn, thì bất kì nghiệm hữu tỉ này của P(x) cũng chính là một số trong những vẹn toàn. sát dụng tấp tểnh lý mang đến nhiều thức P(x) = x2 − 2, tớ suy rời khỏi 3 hoặc là số vẹn toàn hoặc là số vô tỉ. Vì 1 < 3 < 2 nên nó ko là một số trong những vẹn toàn, bởi vậy 3 là một số trong những vô tỉ.

Hình học tập và lượng giác[sửa | sửa mã nguồn]

Đường chéo cánh của hình lập phương đơn vị chức năng có tính lâu năm là 3.

3 là phỏng lâu năm cạnh của một tam giác đều nội tiếp lối tròn trặn đem nửa đường kính vì thế 1. Tương tự động, nếu như một tam giác đều sở hữu cạnh 1 bị chia thành nhì nửa đều nhau, từng nửa là một trong tam giác vuông 30-60-90 với cạnh huyền vì thế 1, cạnh góc vuông là 1/23/2. Từ tê liệt tớ suy rời khỏi giá tốt trị những hàm con số giác của 60°30°.

Xem thêm: một số biện pháp bảo vệ môi trường

Căn bậc nhì của 3 cũng xuất hiện tại vô biểu thức đại số của rất nhiều hằng con số giác như[3]

Ngoài rời khỏi 3 còn là một khoảng cách thân thiện nhì cạnh đối nhau của hình lục giác đều sở hữu cạnh 1, Hay là lối chéo cánh của hình lập phương đơn vị chức năng.

Ứng dụng khác[sửa | sửa mã nguồn]

Kỹ thuật điện[sửa | sửa mã nguồn]

Trong năng lượng điện lực, hiệu năng lượng điện thế thân thiện nhì thừng trộn (điện áp dây) vô khối hệ thống năng lượng điện phụ vương trộn vì thế 3 nhân hiệu năng lượng điện thế của thân thiện một thừng trộn và thừng hòa hợp (điện áp pha). Đây là vì nhì trộn cách nhau chừng 120°, và nhì điểm cách nhau chừng 120 phỏng bên trên lối tròn trặn thì đem khoảng cách vì thế 3 nhân nửa đường kính lối tròn trặn tê liệt.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

  • Căn bậc nhì của 2
  • Căn bậc nhì của 5

Ghi chú[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  • S., D.; Jones, M. F. (1968). “22900D approximations đồ sộ the square roots of the primes less than thở 100”. Mathematics of Computation. 22 (101): 234–235. doi:10.2307/2004806. JSTOR 2004806.
  • Uhler, H. S. (1951). “Approximations exceeding 1300 decimals for 3, 1/3, sin(π/3) and distribution of digits in them”. Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 37 (7): 443–447. doi:10.1073/pnas.37.7.443. PMC 1063398. PMID 16578382.
  • Wells, D. (1997). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers . London: Penguin Group. tr. 23.

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

  • Theodorus' Constant bên trên MathWorld
  • [1] Kevin Brown
  • [2] E. B. Davis